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《周易》和中国古代数学 |
《周易》和中国古代数学1
1、数字神秘主义
把数字神秘化，是古代许多民族都经历过的意识发展阶段。它的原因大约有两条：一是这些数字与某些神秘的东西发生了联系，二是由于数学本身的进步。
人类由不会计数到学会计数，由简单的记数到进行复杂的运算，曾经历了一个漫长的过程。在这个过程的某些阶段，人们会有意无意地对这些数字进行研究。比如人们发现数有两种，一种是偶数，一种是奇数。如果仅仅如此，就不会有数字神秘主义。但是，数字是个通用的工具，当它和占卜联系起来的时候，人们就会把它和占卜中那些神圣而又成对的事物联系起来，比如和天地联系起来。由于天在前而地在后，一在前而二在后，三在前而四在后，所以将奇数归于天，偶数归于地是很自然的事情。由于天阳而地阴，所以奇数阳而偶数阴。这个思路继续发展，于是二象征天地，三象征三才，四象征四时，数字本身就神圣起来了。
数的作用之一是表示次序。《尚书·洪范》篇说：“一曰水，二曰火，三曰木，四曰金，五曰土”，只是次序，我们今天也常用这样的方式来叙事。在数和事物之间，本没有什么必然的联系，说“一曰水”可以，说“二曰水”也未尝不可。但五行说流行起来的时候，原来本不经意的序数成了五种物质本身的一种不能分离的性质，成了它们自身性质的代表，并且还有所发展，把一，二、三、四、五叫做五行生数，把六，七、八，九、十叫五行成数，宋代又依这五行生成数做成《河图》、《洛书》，由《河图》，《洛书》的数据去解释大衍之数，由大衍之数去解释卦象的生成，而卦象又象征着天地间的一切，说它“弥纶天地之道”。但追根溯源，它们都起源于从一到十这几个自然数的结合，变化。那么，这十个自然数还不神秘吗?
音律学的进步，使人们发现了奇妙的音乐和数字的关系。黄钟律长九寸，其它各律都可根据它的长度用十种数学方法推算出来，于是九就获得了特殊的意义。音和自然界的风声相似，而风是气的发抒，音律及其数字就和天地之气有了关系；这样，所有的律数就都获得了一种神秘的意义。
至于有些数字被神秘化，可能仅与某些特殊事件有关。比如《史记·孟尝君列传》，说孟尝君田文生于五月五日，故这一天被认为是个不吉利的日子。
考察这些数字，多是十以内的自然数。这表明，越是简单的数字，与人们生活的关系越是密切，因而越可以使人轻而易举地把它与什么事物联系起来，赋予—种意义。随着人类智力的发展，一些较大的数字也会取得神圣的意义，比如十二生肖，十八般武艺，二十四孝，三十六计，大衍之数五十，天地之数五十有五，六十甲子，七十二般变化，人生百年，一百单八将，甚至十万八千里。但一般说来，还是越简单的数字越易被神化。比如你说个一万八千六百二十四，至今还未听一个人说过它有什么神秘意义。
数字神秘化的另一原因在于数学的进步，特别是历法的进步。我国古代最早也最重要的一本算书是《九章算术》，数学家们对它都给予了非常崇高的评价。《九章算术》共分九章，记载着土地测量，比例计算，劳役，租税分配，面积、体积计算，直角三角形的计算等等最实际的问题。在这些领域中，看不到一点数字神秘化的迹象。但历法就不同。历法推算的是天体的运行，即天道，而天道乃是神意的表现。神意竟能用数字推算出来，数字自然就显得神秘。而《易传》的大衍之数通过变出卦象也推衍出了天道，所以人们把历法数字和易数联系起来是毫不奇怪的。
春秋战国时代，我国古代数学和天文学都有长足的进步，天文推算的准确为天文历算学家赢得了崇高的声誉。庄子说：“自此以往，巧历不能得，而况其凡乎”（《庄子·齐物论》）。就是说，再说下去，连高明的历算专家都算不出来，何况一般人呢！在人们眼里，历算学家解决不了的问题一般人就根本不能解决。而这种对历算学家的信任乃是天文、数学进步的直接结果。信任历算学家，也信任他所用的数字。然而过分的信任却造成了一种因果的颠倒：似乎是数字在决定着天体的运行。当历法与天象不合时，不是去修改历法，而是企图通过人君的自我向善去影响天象。这就是刘歆的天文历法思想。
一定的数字，通过一定的规则进行运算，必有一确定的结果。这样，就使数及其运算和必然性联系起来。
具体的事物，都可度量，因而都有一定的数。它们的生命历程，往往也有一定，如人生百年。这个“百年”之数似乎是人生本身的性质，定数。事物的运动，许多可以用数来描述，比如天体运动可用历法描述，这说明天体运动有一定规则。因此，数又和规则联在了一起。
天地生万物，人是佼佼者。人的生命及其界限(生命之数)也应该是天在赋予他生命及形体的时候同时赋予的，甚至赋予了他一生中必然的遭遇和命运，而必然性也是数。这样，天所赋予人的这些数就带上了一种神秘的意义。汉代飞将军李广，一生辛劳，屡建功勋，武艺超群，声名盖世。汉文帝称赞他说：使李将军得遇高皇帝，万户侯何足道哉！但李广终其一生：不仅连最小的侯也当不上，而且还因为行军迷了路、不愿被审判而悲愤自刎。当时人说他“数奇”。就是说，他一生的遭遇全是因为他自己的“数”不好。
再加以推广，一个王朝的兴亡，似乎也有一定的期限，也就是有个确定的数。这个数的大小，乃是天赋予的。
春秋战国时代，数就作为表示必然的、有规则的性质的概念披用于社会生活的各个方面。用兵有数：
凡军必知有五火之变，以数守之（《孙子兵法·火攻篇》）。
兵之大数，五十里不相救也(《孙膑兵法·五度九夺》）。
治学有数：
其数始于诵经，终于读礼(《苟子·劝学》)。
下棋有数：
今夫弈之为数（《孟子·告子》）。
各种技艺都有数，比如木匠：
斫轮………有数存焉于其间(《庄子·天道》)。
数成为哲学概念以后，和道往往可以互用。道有“天道”，数也有“天数”。天数和天道一样，曾经由于自身的必然性反对过任意性的天命，但是，当对天的尊崇日益浓烈起来以后；天数也在某些范围内代替天命，成为神意的表现，成为神秘莫测的概念。
数学把自己的一切本质都浓缩为一个字“数”，又把数推崇为哲学概念，推崇为天意的载体，那么，这个被拥戴起来的“数”给数学又带来了什么呢?
2、易数与圆周率
李约瑟先生在《中国科学技术史》中说：“历史学家们都十分注意古代数学家为了获得圆周和直径之比(即圆周率)的近似值所做的努力，这可能是因为π值的日益精确可作为各个时代的数学才能的量度”。祖冲之的圆周率是世界瞩目的数学成就，我们不妨先来看一看，《周易》对我国古代这项伟大的成就起了什么作用。
据李约瑟先生说，古埃及曾得到了3.1604的圆周率，古巴比伦曾得到3.125的圆周率，但各文明古国一般的作法是取π值为3。我国古代也是如此，至少在西汉，还是讲周三径一。
与周三径一并行，我国还有天圆地方的概念。虽然《礼记》上说孔子的弟子曾子就反对这个概念，说假如那样的话，天就不能严密地覆盖地了。但直到封建社会终结，这个概念仍然深深地影响着人们的思想和国家的政治生活。我们现在还可以看到，北京的天坛是圆的，天坛旁的那个祈年殿也是圆的，尽管盖这样的圆房子非常不易。而地坛则是方的，北京中山公园里的那个社稷坛也是方的，因为它也是地的象征。当人们耍赋予每个物一个数的时候，对天来说，三自然是最合适的数字。
《周易·说卦传》道：“参天两地而倚数”。参，就是叁。这句话可以理解为以三为代表的奇数属天，以二为代表的偶数属地。但是，也可以直接理解为天的数就是三。比如我们前面提到的虞翻就说，参就是三。而在一些特殊场合，比如圆周率问题，人们马上就会很自然地把天、圆、三联在一起。
国家的一个重要职能，就是颁布统一的度量衡标准，直到今天仍是如此。秦始皇统一中国；大功绩之一就是统一度量衡。今天我们去参观故宫，太和殿前头，还摆着那作为权力象征的标准量器。汉朝末年，王莽代汉作皇帝，刘歆也为王莽造了这样一个量器。这个量器现在保存于台湾的“故宫博物馆”，它的上面是个圆筒，底部翻过来，是个方形的斗。圆筒叫斛，斛两旁还有三个小量器，分别叫升，合、龠。上面有铭文，说明这量器的容积大小。铭文说：圆筒内壁可容一个边长一尺的正方形，正方形的角距圆筒内壁还有九厘五毫。底面积一百六十二平方寸，高一尺，容积一千六百二十立方寸，十斗。五六十年以前，数学家钱宝琮先生据刘歆提供的数字推得刘歆的圆周率为：
=
钱宝琮在推得这个结果以后说，刘歆演算的过程没有传下来，而且，刘歆未必有发明新闻周率的意思。尽管如此说，但不少人仍然认为，是刘歆首先突破周三径一，发明了新的圆周率。
刘歆以后，人们认为大科学家张衡发明了新的圆周率。一个是他的研究立方体与它的内接球体积之比时，得出的比率为
。人们据此求得张衡的圆周率为3.1622。张衡还写了一个非常著名的天文学著作《灵宪》，认为天周地广之比为
（有的本子为 ），据此又可推得：
这样，张衡就有两个圆周率。
事实上，不仅如钱宝琮先生所说，刘歆未必有发明新圆周率的意思，而且可以说，刘歆也好，张衡也好，都根本不会有发明新圆周率的意思。
刘歆说：“易大衍之数五十，其用四十九”，“推历生律制器，规圆矩面方”等等，“莫不用焉”。这是说，不论是制订历法，制订音律或制造器具，也不论是圆的计算或方的计算，都要以易数为根据；
刘歆又说：“易曰，参天两地而倚数。天之数始于一，终于二十五。其义纪之以三，故置一得三”。这是说从一到九的奇数和是二十五，这二十五一个当三个，共是七十五，再加一个六，就是八十一，也就是三统历的日法。天数为什么能一个当三个?显然因为天是圆的，圆的周径之比为周三径一。
刘歆解释他那个斛的样子和尺寸说，斛两旁有二个耳，看起来象喝酒的爵，象征把爵位和俸禄散给大家。解“上三下二”，表示“参天两地，圆而含方”。显然，圆象征天。参天两地，就是上三下二；上三下二就表示三是圆的数。在刘歆的心目中，三和圆是这样的密不可分，又具有如此神圣的意义，他怎么可能去触动这个神圣的数字！
那么，他的那个圆周率又是怎么回事呢?
原来，这种形制的量器是过去就有的东西。据《周礼·考工记》载：鬴，圆筒形，深一尺，可内接边长一尺的正方体，其容积为一鬴。
《考工记》还说，测量容积的办法就是量。把锡熔化，铸成一定形状。再熔化，铸成可以量度的形状，就可测得圆柱形容器的容积。后来，人们大约也用水进行测量。刘歆所用的，也是这样一种办法，他说：
量者，龠、合、升、斗，斛也，所以量多少也。……用度数审其容，以子谷柜黍中者千有二百实其龠，以井水准其概……
(《汉书·律历志》)。
刘歆经过实测，该斛容积为1620寸3。据深一尺，知底面积为162寸3。他注意的只是天圆地方、参天两地、容积面积和高度，丝毫也不曾想弄清圆的周长和周率。
后来的张衡，注意的也仅是正方体和内外接球体的体积之比，这个体积也可能是通过量度得出的。就是说，张衡和刘歆一样，也丝毫没有想到去打破周三径一的比率。
周三径一是个古老的概念，也是个非常粗疏的比率。汉代，天文、数学都有了非常大的进步，刘歆、张衡又都是汉代第一流的天文、历算学家，对于他们来说，这个比率的粗疏当是显而易见的，他们又几乎是无时无刻不在和或圆或方的东西打交道，圆周新率无时无刻不在向他们招手，有无数个机会可以让他们突破周三径一，但“参天两地”的概念蒙住了他们的眼睛，使他们对一切机会都视而不见。
魏晋时期的数学家刘徽说：
衡说之自然，欲协其阴阳奇偶之说，而不顾疏密矣。虽有文辞，斯乱道破义病也(《九章算术注·少广章》)。
所谓“阴阳奇偶之说”，就是与《周易》有关的那些概念。就是这些概念，使张衡错过了发明圆周新率的机会。
祖冲之严厉地批评说：
立圆旧误，张衡述而弗改。汉时斛铭，刘歆诡谬其数。此则算氏之剧疵也(《宋书·律历志》)。
就是说，那个旧的、错误的圆周率，张衡只是照传，却不去改正。那个斛的铭文，刘歆用一些怪诞而荒谬的说法去解释其中的数据。这是数学家的大缺点。
东汉末年，谶纬迷信、天人感应的传统观念越来越暴露了它们的荒谬，在天文学领域，由于蔡邕和刘洪的活动，实事求是的精神逐步抬头。刘洪根据科学的考察，制订了新的历法。由于这部历法的方法进步，推算准确，刘洪被誉为后代“推步之师表”。至于蔡邕，不仅懂数学，而且还是新思想的传播者。
蔡邕以前，汉代有个伟大的思想家叫王充。他写了一部《论衡》，有理有据地逐一批判当时的天文感应、谶纬迷信思想。但王充的著作写成以后，长期湮没无闻。后来蔡邕到江南，得到了这部书。他反复阅读，并积极传播其中的思想。别人觉得蔡邕的思想，大有长进；猜想他一定是读了什么好书；在他屋里一翻，果然翻出了《论衡》。从此，《论衡》传播开来。
《论衡》的传播就象在那神学迷信长期统治下的烦闷污浊的空气中突然吹来了一股清凉的风，打击了形形色色的神学迷信，也打击了数学领域内的神秘观念。后果之一，是王蕃发现了圆周旧率的错误，并且要来纠正这个错误。
王蕃是吴国人，佩服刘洪的历法精妙。他在吴国推行刘洪的历法，并且自造浑仪，考察以前的各种数据。根据纬书所载的天体大小的数字，还有陆绩的解释，都表明，他们认为圆周率为周三径一。比如《洛书·甄曜度》、《春秋·考异邮》都记载着：周天1071000里，一度为2932里71步2尺7寸4分
分。陆绩注道：天的直径为357000里，于是，
王蕃说，经过考察，周三径一是不对的，应是周142，径45，周率为：
王蕃才是中国历史上第一个打破周三径一、创造了圆周新率的人。从此以后，圆周率的计算有了飞速的进步。
在北方，魏国的刘徽发明了计算圆周率的新方法。他发现，周三径一只是圆内接正六边形与圆的直径的比。显然，圆内接正六边形的周长比圆周要小得多。假若是圆内接正十二边形，就比较接近圆的周长。边数越多，与圆的周长就越接近。刘徽相信，这样地继续下去，最后，圆内接正多边形的周长就会与圆周重合，而这个圆内接正2n(n=6)边形的周长是可以精确求出的；刘徽依自己的方法，求得圆周率为。刘徽知道，这个数据小于实际的圆周率，所以称为“弱率”。
后来，祖冲之也求得用分数表示的两个圆周率：，称疏率；，为密率。不少数学家认为，密率是祖冲之的空前杰作。一种说法是，这个杰作乃是刘徽圆周率的直接发展。将换成代分数：
=3
将分母50减1，则
3=3=3=
由于减少了分母，分值增大，大于实际的圆周率。祖冲之认为。真正的圆周率在与之间。
在刘徽之后祖冲之之前；天文学家何承天创一“调日法’。我们知道，历法是否精密，决定的因素在于每年、每月整日数以后的那个尾数。由于测量手段的限制，这个尾数非大即小，所以需要调整。调整的方法是：将一大一小二者的分子分母分别相加，得一新分数，其值介于二者之间，比如求一分数小于而大于，则将与分子分母分别相加，得+=，<<。这个过程可以连续进行下去，直到求得一满意数值为止。将与分子分母分别相加：
+
依钱宝琮的意见，加到第九次：
=
这就是祖冲之的密率。变成小数：
≈3.1415929
这非常接近祖冲之求得的那个小数值，然而使用起来要方便得多了。
祖冲之的密率是不是这样得出的?可以争论。有人认为是用连分数的方法从刘徽的弱率得来的。但大家几乎都一致承认，是刘徽的方法为祖冲之开辟了道路。而刘徽的方法与同时代的古希腊数学家阿基米德相比，则简便得多，并且刘徽认为，正2n(n=6)边形边数增多到某一时刻；可以和圆周重合。但阿基米德却认为，不论增到什么程度，直线总归是直线，不能与圆周重合。所以，刘徽的方法和祖冲之的数据，同样都是世界性的、具有历史意义的成
就。那么，是谁为刘徽的成就开辟了道路呢?
《周易》和中国古代数学2
多年来，对刘徽的研究吸引了许多数学家的兴趣和精力，人们从各个方面探讨了刘徽方法的渊源，取得了许多重要的成果。但是，有一点人们却忽视了：假若刘徽仍然象刘歆，张衡一样，把易数看得非常神圣，从不敢怀疑周三径一的正确性，他是否能够想到去发明一种新方法？
所以，这首先需要思想上的解放和转变，怀疑周三径一的正确性。这一步，王蕃已经做到了。第二步，就是找到一个正确的方法去求得一个精确的圆周率。在这里，几乎可说唯一的方法就是度量。周三径一可能是古人度量的结果，现在又要用同样的方法去纠正古人的粗疏。问题是如何度量。
最简便易行的方法就是用圆的半径和圆的周长进行比较。无论这种方法如何进行，最后都会不太困难地得出这样一个结果；圆内接正六边形的周长与圆径之比才是三比一，因为它的每一边长都与半径相等。达到这一步以后，剩下的问题就只是精确的程度了。
达到这一步，从技术上说，无论是对于刘歆还是对于张衡；都并不是难事。难在他们要从技术上达到这一步以前必须先在思想上迈出一步：怀疑周三径一，怀疑易数的神圣性。
这是我国古代数学和易数的第一次重要结交，让我们记住这段历史吧。
3、易数与宋元数学
易数和数学的第二次结交主要在宋元时代，开始于邵雍，人们把邵雍的学问也叫做象数学。
把邵雍的学问和汉代刘歆等人的学问加以对比就知道，二者有许多重要的区别。
汉代的象数学主要研究卦象，他们创造了许多变卦的方法；增加了许多卦象的象征意义。当他们从研究卦象走到卦气说的时候，主要是给当时已经流行的世界模式加上—个外在的标志。这些卦象标志本身的内容必须服从那个世界模式所指示的内容，卦象的作用降到了第二位。当运用卦气说进行占卜的时候，主要也是看那时候的“气”是否正常；这事实上是以《春秋》公羊学为代表的天人感应学说。这时候，他们事实上已经把卦象抛开了，所以义理派就有充分的理由宣布可以“得意忘象”。
邵雍对于卦象本身的研究不多。之卦是过去已有的，他只是利用过去的成果。先天图，从太极生两仪一直推到生六十四卦是他的创造，但这里仅仅是为了创造一个新卦序。对于汉代人来说，创造一个新卦序，去描述气的运动，就完成了他们的学说，余下的事情就是占卜了。对于邵雍，创出新卦序并以此描述气的运动仅仅是他的学说的起点，更多、更重要内容还在后头。汉代的卦气说已把卦的作用挤到了第二位，邵雍的皇极经世体系又用皇帝王霸、道德功力、仁义礼智等等内容进一步把卦的作用挤到了可有可无的地位。由于卦的作用降低，汉代的卦气说启发了扬雄另造一个“太玄”。邵雍的创造则启发了更多的人去创造新的模式。比如前面讲的星纪说、洪范九畴说等等。
汉代对易数的研究似乎和卦象的研究互不搭界。京房、虞翻等等不大讨论数与象的关系，或许这在他们是不言自明的问题，也或许他们更多地相信这些卦象是圣人仰观俯察的结果，所以才大规模地去寻找那些卦象所象征的事物。刘歆等人谈易数，只是把易数拿来，直接偷运到科学领域，用各种科学数据和易数附会，所以影响了科学本身。刘牧、邵雍则明礁强调“形由象生、象由数设。舍其数，则无以见四象所由之宗”(刘牧”《易数钩隐图》)，他们把数作为象的来源，也就是把数作为全部《周易》的源泉，仰观俯察、观物取象的意思不见了。所以他们才那么重视《河图》，《洛书》，把二者冠于《周易》之首，说二者是圣人画卦的根据，并且由此也导致了我们今天的“数字卦”说，即认为卦象源于数。清代黄宗羲的儿子黄百家在谈到这种倾向时说，这是把不知从那里拣来的一个螟蛉子当作了自己的高曾祖。
当把拣来的螟蛉子当作了高曾祖的时候，就给易数的研究开了一个新天地。刘歆、一行都把《易传》中所说的那些数据看得最神圣。他们只是用各种方式去附会这些数据，或运用这些数据去说明他们自己的科学成果。但刘牧，邵雍等人则认为，这些易数之上还有更神圣的，那就是《河图》，《格书》。《河图》，《洛书》以下，神圣的东西自然也不限于《易传》上的那几个数据，邵雍的皇极经世体系，一元12会，一会30运，一运又12世，一世又30年，这12与30的交替并不是《易传》所提供的数据。这种交替的结果有人竟算到四十一位：7,95866110,99464008，84391936×100000000，00000000。这样的数字，就是现代的人读起来也感到拗口，而它与易数的距离也就十分遥远了。这样，研究易数也就只是名义，而其实成了对数本身的研究。而且邵雍也不去用科学数据附会易数，他的兴趣在社会和历史，他要用自己创造的一套数据去说明社会和历史，当时叫作“通神明，经世务”。
邵雍的老师叫李之才，李之才不仅通《周易》，而且会历算。他曾以历算教刘羲叟，刘造“羲叟历法”，据《宋史·李之才传》，这部历法“远出古今上，有扬雄，张衡所未喻者”。这也是一个数学家集团。邵雍，就是这个集团的成员之一。
邵雍以后，他的学问在北方地区得到了广泛传播。
据《金史·麻九畴传》记载，麻是一个神童，八九岁时就轰动京城。他最初学易学，后来喜欢邵雍的《皇极经世书》，从此开始学“算数”。又喜欢卜筮、射覆。晚年又学医，和当时名医张子和交往密切。这是一个多才多艺的人物，他通过邵雍而走上了数学的道路。
与麻九畴同时，有个杨云翼，被称为金朝第一文士。他懂治国之道，也懂历法。著有《象数杂说》等。
金代末年，有个刘秉忠。刘十七岁时做金朝邢台节度使府令史。据《元史·刘秉忠传》。刘于书无所不读，“尤邃于《易》及邵氏《经世书》”。“在刘秉忠周围，聚集了一个数学家集团。这个集团中，有后来制订了著名的“授时历”的王恂、郭守敬，张文谦，还可包括王恂的父亲王良、郭守敬的祖父郭荣。王良、郭荣都是金朝知识分子，精通历算。
和刘秉忠集团同时，还有个杜瑛和杨恭懿。《元史·隐逸传》载，元世祖忽必烈召见杜瑛，杜的回答，都是治国安邦之策。杜精通历算，对邵雍的学问有深入的研究。杜的著作，有《皇极引用》八卷、《皇极疑事》四卷、《极学》十卷、《律吕律历礼乐杂志》三十卷。他说，从前制订历法，都以十一月甲子朔夜半冬至为历元，只有邵雍，“以为天开于子，取日甲月子星甲辰子为元会运世之数，无朔虚，无闰余，以三百六十为岁，而天地之盈虚、百物之消长，不能出乎其中矣”。他对邵雍推崇备至，在他的眼里，《皇极经世书》乃是一部天地万物生灭兴亡的历法。与杜瑛过从甚密的杨恭懿，“书无不读”，精于历算，曾历数历代历法的得失；并自造过历法。
和上述诸人差不多同时，出现了一个中国数学史上非常重要的数学家李冶。李冶发明了“天元术”；即设X作方程的数学方法，对我国古代数学做出了非常重要的贡献。
李冶少于麻九畴，长于刘秉忠。于数学著作以外，他还著有《敬斋古今黈》。敬，是宋代程朱理学关于修身的一种主张，要求人们时时刻刻都毕恭毕敬地对待自己行为所涉及的一切事物。这是一个宗教心理和态度，实际上就是敬畏上帝和神明。朱熹把自己的居室命名为“敬斋”，并且写了《敬斋箴》，作为自己的座右铭。《敬斋箴》影响很大，后来的学者们纷纷用它来规范自己的行为。李冶把自己的居室也命名为“敬斋”，表明了他对朱熹的尊祟。
李冶的《敬斋古今黈》，宗旨是评论古今人物；他推崇程朱，但也略有微词。对于邵雍，则几乎只有称赞。他在卷一称赞邵雍把大数的单位“经”写成“京”认为这才符合音义，在卷四称赞邵雍把草木分别归类是对的，批评历代《五行志》草木不分，把树木的变异说成是“草妖”；在卷五称赞《皇极经世书》解《易》“不取附著之说”，是正确的。现存的《敬斋古今黈》，已非原貌，李对邵的称赞也不尽恰当，如并非邵雍首先把经写作京。但李对邵的态度是清楚的。
与李冶有关的数学家及数学著作，有彭彦材的《复轨》、蒋周的《益古集》、李文一的《照胆》、石信道的《钤经》，刘如锴的《如积释锁》等。
金元之际的数学家，有的是从《皇极经世书》开始走上数学道路。也有的可能是在走上数学道路以后喜欢《皇极经世书》的，然而无论如何，他们大都或直接或间接地与《皇极经世书》有关，并且对邵雍抱有好感。邵雍及其学说，对于金元之际的数学繁荣，至少是起了一种推波助澜的作用。
邵雍的学问传到南宋，朱熹把它作为通过数讲理的学问，而张行成、祝泌等人又传到廖应淮、程直方，使邵雍的学问完全成了一种占卜术。此外，邵雍的学问对于秦九韶，也发生了相当的影响。
秦九韶著《数书九章》，发明了”大衍求一术”和高次方程的数值解法。《中国数学史》认为，这本书是中世纪中国数学的高峰。1987年由北京师范大学出版社出版了当代著名数学家吴文俊教授主编的《秦九韶与数书九章》一书，收集了当代数学家们研究秦九韶的童要成果。
秦九韶长期生活在四川。在《数书九章》序中，他说自己“尝从隐君子受数学”。这个隐君子，很可能是邵雍学问的后继者之一。
据说在南宋初年，张行成从四川得到了邵雍传下的十四幅图，后来张把这些图献给了朝廷。南宋末年，廖应淮被发配到汉阳，碰到四川道士杜可大；杜向他传授邵雍的学问，廖一看就通，并且学到比杜还好。
秦九韶《数书九章》序言中说，数的错综变化，包括着“大衍皇极之用”，“人事之变”、他推大衍求一术，目的之一就是“小试经世”。这些话中，明显地透露出邵雍的影响。
高次方程的数值解法的前身是贾宪的增乘开方法；增乘开方法的前身是“开方作法本源图”。其图如下，
①
① ①
① ② ①
① ③ ③ ①
① ④ ⑥ ④ ①
① ④ ⑥ ④ ① ①
① ⑤ ⑩ ⑩ ⑤ ①
① ⑥ 15 20 15 ⑥ ①
这是一个二项式(a+b)n 展开式的系数表。由于除1以外的任一正整数都可表示为两个正整数的和，所以可借助这个表对正整数进行开方。然而，我们若把这个表和司马光的体图相比较就会发现，二者不仅在形式上，而且在内容上也有许多相似。
由此我们可以想到，由邵雍、司马光开始的事业，并不是在研究什么易数，而是一般地企图通过数来研究社会和历史。同时，另一部分则专心于数与数的关系，为我国的数学史写了光辉的一页。他们研究的都是数，所以一部分人才能通过邵雍而进入数学，或者进入数学以后而仍然喜欢邵雍。有人说邵雍精通易数，廖应淮说，程直方认为，“数本不出于易，系天—至地十，生两至生八也”（《皇极经世书·皇极本末杂录》)。
程直方的意见和后来黄百家的意见是一致的，“数本不出于易”，邵雍的《河图》、《洛书》不过是拣来的螟蛉子。螟蛉子作了高曾，就把对易数的研究实际上变成了对数的研究。宋元时代对数的研究分成了三支：一支通过数讲理，一支将数用于占卜，一支从中发展了数学。在当时的社会，它们各有各的成果和用途。然而无论哪一种，它们实际上都只与数有关，而与易无关了。
这是易数和数学的第二次大结交，这次结交使数学有了大发展，但深入研究才发现，这个发展其实与易数无关。
但是，易数在这次结交中并非全无用处，虽然它与实际的数学发展无关，但由于它的存在而影响了人们的数学观。
4．易数与数学观
从刘歆起易数开始影响人们的数学观。刘歆认为易数是一切计数和数学运算的基础。后来刘徽注《九章算术》，虽然实际上破除了数字神秘主义，因而做出了非常辉煌的成就。但在一般的数学观上，仍然没有摆脱刘歆的影响，他说：
昔在包牺氏，始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之数，以合六爻之变。及于黄帝，神而化之，引而申之。于是建历纪，协律吕，用稽道原，然后两仪四象，精微之气，可得而效焉(《九章算术注·序》)。
这就是说，《周易》和易数，是数学的起源，也是数学的基础。
司马彪作《续汉书·律历志》，才在一般的数学观上摆脱了刘歆的影响。司马彪说：
古之人论数也，曰：“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数”。然则天地初形，人物既著，则算数之事生矣。记称大桡作用子，隶首作数。二者既立，以比日表，以管万事。夫一、十、百、千、万，所同用也，律、度、量、衡、历，其别用也。故体有长短，检以度，物有多少，受以量；量有轻重，平以权衡，声有清浊，协以律吕；三光运行；纪以历数，然后幽隐之情，精微之变，可得而综也。
所说的“古之人论数”，见于《左传·僖公十五年》，是说先有物才有象，象的繁衍滋生才有了数。是物产生了数，不是数产生了物。数，是在对物进行计量的时候产生的。这是关于计数及数学来源的非常正确的解说。
司马彪继续说，从天地初开、人类刚刚诞生的时候，数学就产生了。一、十、百、千、万这些数，具有普遍的意义，到处通用。音律、历法、度量衡，是数在不同领域里的应用。测量物的长短，有尺寸；量度物的体积，有升斗；称量物的轻重，有斤两；律数调节音的高低，历数描述三光的运行。它们各自的测量方法；单位不同，但一十百千万这些数没有差别。在司马彪这里，没有易数的地位。
司马彪以后，关于数学观的讨论似乎沉寂下来了，数学家们不再提及易数。唐朝，李淳风做《隋书·律历志》，一面重复司马彪的数学观，一面又在历法领域重提易数，为一行用历数附会易数开了先河。欧阳修作《新唐书·历志》，说数是自然之用，所以无所不通，于易，于历都能符合，又否定了一行的数学观。但邵雍《皇极经世书》的传播却在几百年中使人们把易数当成了数学的渊源。邵雍说：
太极一也；不动生二，二则神也。神生数，数生象，象生器(《皇极经世书·观物外篇》之十一)。
这就是说，数产生了事物。邵雍又说：
易之数穷天地终始(《观物外篇》之九)
那么，还有什么问题不包括在易数之内呢？
更重要的是，邵雍研究数，目的不在于我们今天称之为数学的那些内容。他认为，研究数有两条道路：一条是由数而走向术，一条是由数而走向道。术，既指数学，也指占卜。古人研究数学往往兼有占卜的作用。道，涉及天地生成，社会治乱、人性物理等等与治国修身有关的大问题。邵雍不屑于由数达到术，他要由数入于道。
邵雍《皇极经世书》的传播，同时也是他的数学观的传播。随着邵雍数学观的传播，使那些在今天看来是真正的数学家们却自惭形秽，感到低人一等。
秦九韶《数书九章·序》说道：
周教六艺，数实成之，学土大夫，所从来尚矣。其用本太虚生一，而周流无穷。大则可以通神明，顺性命，小则可以经世务，类万物。讵容以浅近窥哉！
数学的作用是如此伟大，“经世务，类万物”还是小用，岂能小瞧！
爰自《河图》、《洛书》，开发秘奥，八卦、九畴，错综精微。极而至于大衍、皇极之用，而人事之变无不该，鬼神之情莫能隐矣。
《河图》，《洛书》揭示了数的秘密，《皇极经世书》包罗了人事的一切。自然，这都是伟大的事业。至于他自己，则是另一种样子：
所谓通神明，顺性命，固肤末于见，若其小者，窃尝设为间答，以拟于用。
通神明、顺性命的事他做不来，他只能做些小的，这就是他的大衍求一术(即解联立一次同余式)、高次方程的数值解法。虽然如此，他并不以小道末技而甘心，他希望自己能进于道。他说，自己的著作。
或可备博学多识君子之余观，曲艺可遂也，愿进之于道。
有人问朱熹：“康节只推到数?”朱熹说，是的。又问，他应该也见到一些理。朱熹说，虽然见到一些理，但他并不介意。朱熹还说：“圣人知天命以理，邵雍却只是用术”。在朱熹看来，邵雍的手段和圣人不一样。由于这个手段，虽然见到一些理，也未引起他的注意。邵雍尚且如此，至于秦九韶，则更下一等了。
后来，朱世杰做《四元玉鉴》。这是一部论述四元高次方程解法的数学著作，在世界数学史上享有崇高的地位。朱世杰认为，学习四元术，应以“明理”为目的。这个理，乃“尽性穷神之学”。所以，莫若在给朱世杰《四元玉鉴》写的序言中说：
数一而已。一者万物之所以始。故易一，太极也。一而二，二而四，四而八，生生不穷者，岂非自然而然之数耶?《河图》、《洛书》泄其秘，《黄帝九章》著之书。
这也是说，《河图》、《洛书》是数学的源泉。
明代程大位做《算法统宗》，在卷首画有龙马负图象，并附有说明：
数何肇?其肇自图书《河图》，《洛书》乎?
《算法统宗》是本珠算书，流传极广。明清两代，凡是学算的人，几乎是人手一本。随着《算法统宗》的流传，《河图》、《洛书》为数学之源的思想也日益深入人心。明末，李之藻编译《同文算指》，杨廷筠做序。其中说道：
自龟马呈样，图书阐秘，羲轩圣人，则而象之。而容成隶首，推演其法，数学于是乎肇世……
说《河图》、《洛书》是数学的源泉；就必然接受由此带来的思想：数学的主要功用是通神明，经世务。
徐光启为《同文算指》做序，才严厉地批评了邵雍以来的数学观念。他说，明代数百年间，数学衰落，考其原因，大约有两条：
其一为名理之儒，土苴天下之实事，其一为妖妄之术，谬言数有神理，能知来藏往，靡所不效。卒于神者无一效，而实者亡一存。
在徐光启看来，几百年来的数学观正是明代数学衰落的原因。
数学攀附《周易》，以求提高自己的地位，反映了数学在当时社会中的悲惨地位。虽然谁都离不开数学，但越是谁也离不了的东西反而越不值钱。攀附《周易》，就得把易数作为数学的主宰。然而易数的作用是古卜，所谓通神朋，指的就是古卜。这样一来，攀附易数就给数学带来了无穷无尽的灾难。
5、九宫数、二进制略论
九宫数。
九宫数首见于《周易·乾凿度》。《乾凿度》是纬书之一，作于汉代。说九宫数是汉代的幻方，完全正确。说九宫数是“汉易”的数，也对。但是，它不见于《周易》。倘若研究《周易》和数学，就不应谈论九宫数。
对九宫数的解说，汉代人只说它“四正四维”都等于15。现在，有人从中发现了几十种数学关系。但是，这是今人的发现，不是古人的本意。说现在有人从中发现了许多知识是对的，说古人当时就是要表达这么多意义，是不对的。
二进制问题。
据说莱布尼茨看到了两张易图，从而发明了二进制。这种说法影响深远，为我国的《周易》大大增了光；也使我们不少人感到振奋。但也有人反驳，认为是莱布尼茨先发明了二进制，然后才见到了那两张易图。
这两张易图是宋朝的作品，因此，这是“宋易”与二进制的关系，不是《周易》和二进制的关系。《周易》的卦序排列是乾坤屯蒙……。这里面没有二进制。
最重要的是，这两张图在中国早已流传了几百年，但没有一个人从中发现什么二进制！说来，这真是我们民族的耻辱！
再说，二进制有什么了不起！它不过是一种进位制。它和十进制、十二进制、六十进制、十六进制一样，各有自己的应用范围和时代功绩。现在的电子计算机用二进制，以后的技术发展，也可能用三进制，五进制等。然而无论到什么时候，《周易》仍是《周易》，宋易仍是宋易，谁从中看到了什么，那是谁的光荣，不是《周易》、也不是宋易的光荣，邵雍以外，我国古代的易学家还创造了很多易图和卦象排列方式，我希望我们的有识之士应赶快从中看出点什么来，而且不要只看到那些前人已经发明的东西，比如什么相对论、量子论、二进制等等，而要从中看到一些前人所未能发明的东西，那才是真正的发现，真正的光荣。不要等到别人发明了什么以后，我们又一齐来欢呼：我们的《周易》里早有了！
鲁迅说，真的猛士，敢于正视淋漓的鲜血，敢于直面惨淡的人生。一个有出息的民族，应该弘扬自己优秀的传统文化，但不能无根据地，不实事求是地自我陶醉，不应该否定自己过去的一切，但要正视本民族的弱点，缺陷和耻辱。只有这样，才能脚踏实地地、一步一步地把我们的民族引向光明。
古人云，知耻者近乎勇。
6、陆九渊论易数
陆九渊被公认为是唯心主义哲学家，和朱熹齐名。他说：后世言易数者，多只是眩惑人之说（《陆九渊集》）。这个判断对于古代是正确的，对于现在仍然是正确的
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